无限区间线性非齐次偏微分方程程的解法？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-15 12:52 标签： 线性非齐次偏微分方程

微分方程与差分方程方法


第四章 微分方程与差分方程方法 第一节 微分方程模型 我们在数学分析中所研究的函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到的大量实际问题往往不能直接写出量与量之间的关系,却能比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分)的关系式称为微分方程. §4.1.1 微分方程简介 这一节,我们将介绍关于微分方程的一些基本概念. 一、微分方程的阶数 首先我们具体的来看一个微分方程的例子. 例4-1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中,在时刻,测量得它的温度为,10分钟后测量得温度为.我们要求决定此物体的温度和时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.这里我们假定空气的温度保持为. 解:根据物理学中的牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在介质温度的差值成正比.设物体在时刻的温度为,则温度的变化速度可以用来表示.我们得到描述物体温度变化的微分方程 (4.1.1) 其中是比例常数. 方程(4.1.1)中含有未知函数及它的一阶导数,这样的方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数. 方程 (4.1.2) 中未知函数最高阶导数的阶数是三阶,则方程(4.1.2)称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程;自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 方程 (4.1.3) 就是偏微分方程的例子,其中是未知函数,、、都是自变量.而方程(4.1.1)(4.1.2)都是常微分方程的例子. 三、线性与非线性微分方程 如果阶常微分方程 (4.1.4) 的左端为关于未知函数及其各阶导数的线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般的阶线性微分方程具有形式 (4.1.5) 其中是关于的已知函数. 当时,称(4.1.5)为阶齐次线性微分方程;当时,称(4.1.5)为阶非齐次线性微分方程. 例如,方程(4.1.2)是三阶线性微分方程.而方程 (4.1.6) 是一阶齐次非线性方程. 四、微分方程初边值问题 我们把含有个独立的任意常数的解 称为阶微分方程(4.1.4)的通解.为了确定微分方程一个特定的解,我们通常给出这个解所必须满足的条件,这就是定解条件.常见的定解条件是初始条件.阶微分方程(4.1.4)的初始条件是指如下的个条件: 求解微分方程满足初始条件的解,称为初值问题.求解初值问题的过程,就是通过初始条件确定通解中的常数,从而求得满足初始条件的特解的过程. 若方程所给出的定解条件,既有自变量初始时刻的值,也有自变量取终值时的值,则称该问题为边值问题. §4.1.2微分方程的求解及Matlab实现 线性微分方程和低阶特殊微分方程往往可以通过解析解的方法求解,但一般的非线性微分方程是没有解析解的,即使可以求得解析解,参数也很难确定,需要用数值解的方式求解.具体的求解方法很多,本节我们主要介绍如何利用matlab来求解微分方程的解析解和数值解. §4.1.2.1微分方程的解析解 一、基本理论 有些简单的常微分方程可用一些技巧,如分离变量法、积分因子法、常数变异法、降阶法等,化为可直接积分的方程从而求得显示解.例如,一阶常系数线性常微分方程 可化为 两边积分可得的通解为 . 一般的常系数线性微分方程 (4.1.7) 的解满足叠加原理,即方程(4.1.7)的通解是对应齐次方程 (4.1.8) 的通解与非齐次方程(4.1.7)的一个特解的和. 一阶常系数线性常微分方程总可用这一思路求得显示解. 高阶线性常系数微分方程可用特征根法求对应齐次微分方程(4.1.8)的通解.(4.1.8)对应的代数特征方程 若方程的特征根均可以求出,且两两相异,则方程(4.1.7)的解可以表示为 其中,为待定系数,是满足方程(4.1.8)的一个特解,这个特解可以通过常数变异

本书通过大量丰富的实例，帮助读者从基本的常微分方程向更多高级概念(偏微分方程、傅里叶级数和边界值问题等)顺利过渡。作者轻松的语言风格使得书中的材料通俗易懂，尤其适合那些渴望了解更多和更深微积分知识的读者。

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第1章 应用与方法概述

1.1什么是偏微分方程

1.2求解并解释偏微分方程

2.3以任意数为周期的函数的傅里叶级数

2.4半幅展开：余弦级数和正弦级数

2.5均方逼近和帕塞瓦尔恒等式

2.6傅里叶级数的复数形式

2.8傅里叶级数表示定理的证明

2.9一致收敛性和傅里叶级数

2.10狄利克雷判别法和傅里叶级数收敛性

第3章 直角坐标中的偏微分方程

3.1物理学和工程技术中的偏微分方程

3.2建模：弦振动和波动方程

3.3一维波动方程的求解：分离变量法

3.6棒中的热传导：各种边界条件

3.7二维波动方程和热传导方程

3.8直角坐标中的拉普拉斯方程

3.9泊松方程：特征函数展开法

3.10诺伊曼条件和罗宾条件

第4章 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程

4.1各个坐标系中的拉普拉斯算子

4.2圆形膜的振动：对称情况

4.3圆形膜的振动：一般情况

4.4圆域中的拉普拉斯方程

4.5圆柱体中的拉普拉斯方程

4.6亥姆霍兹方程和泊松方程

4.7贝塞尔方程和贝塞尔函数

4.9贝塞尔函数的积分公式和渐近式

第5章 球面坐标中的偏微分方程

5.2对称狄利克雷问题

5.3球面调和函数和一般狄利克雷问题

5.4亥姆霍兹方程及其对泊松方程、热传导方程和波动方程的应用

5.6勒让德多项式和勒让德级数展开

5.7相伴勒让德函数和相伴勒让德级数展开

第6章 施图姆-刘维尔理论及其在工程技术中的应用

6.2施图姆-刘维尔理论

6.4四阶施图姆-刘维尔理论

6.5梁的弹性振动和屈曲

第7章 傅里叶变换及其应用

7.4热传导方程和高斯核

7.5狄利克雷问题和泊松积分公式

7.6傅里叶余弦变换和正弦变换

7.7半无限区间上的问题

7.9非齐次热传导方程

第8章 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用

8.2拉普拉斯变换的进一步性质

8.4汉克尔变换及其应用

第9章 有限差分数值方法

9.1热传导方程的有限差分法

9.2波动方程的有限差分法

9.3拉普拉斯方程的有限差分法

9.4拉普拉斯方程的迭代法

第10章 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用

10.2偏微分方程与抽样定理

10.3离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

10.4傅里叶变换与离散傅里叶变换

第11章 量子力学引论

11.3海森伯格不定性原理

11.4埃尔米特多项式和拉盖尔多项式

第12章 格林函数和共形映射

12.1格林定理和恒等式

12.2调和函数和格林恒等式

12.4圆盘和上半平面的格林函数

12.6利用共形映射求解狄利克雷问题

12.7格林函数与共形映射

12.8诺伊曼函数和诺伊曼问题的解

附录A 常微分方程：概念和方法的回顾

2013年4月 PAGE PAGE # PAGE PAGE # 摘要 质点力学研究质点的位移怎样随着时间而变化， 电路问题研究电流或电压怎 样随着时间而变化。总之，是研究某个物理量（位移、电流或电压）怎样随着时间 而变化.这往往导致以时间为自变数的常微分方程（质点的运动方程、电路微分方 程）。 但是，在科学技术和生产实际中还常常要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程，例如研究静电场的电场强度或电势在空间中的分布， 研究电 磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间中的变化情况， 研究声场中的声压在 空间和时间的变化情况，研究半导体扩散工艺中杂质浓度 （单位体积里的杂质的 量）在硅片中怎样分布并怎样随着时间而变化，等等.总之，是研究某个物理量（电 场强度、电势、磁感应强度、声压、杂质浓度）在空间的某个区域中的分布情况， 以及它怎样随着时间而变化。这些问题中的自变数就不仅仅是时间，而且还有空 间坐标。 关键词：物理，普遍性与特殊性，边界条件，初始条件，在一定的条件下，数学 物理方程，数学物理定解问题的广义方程，解决问题。 Abstract P article mecha nics research of p article dis

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