求助一道线代动线问题初一讲解，Ak1+Ak2+..Akn？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-24 07:11 标签： 等和线

1.把某行（列）加至各行（列）

2.把各行（列）均加到某一行（列）

4.三角化法：以对角线为工具化三角型
（1）（逐行相加） 以 对角线在第一行（列）的元素为开始 先消第一荇（列），逐次化为三角型

（2）（消谁,把其他行都倍加到谁）如 消第一列三个元素,将2,3,4列元素倍加到第一列（可先化简主对角线元素）


ⅠA+BⅠ無任何法则（可数乘）,添加E,左右添加（如A左,B右）
已知凑未知（的形式）,未知用已知（的条件）

一个矩阵看作两个矩阵相乘（找相似/两边求荇列式）

（1）.A~B（P??AP＝B,P可逆）?A,B特征值/秩/行列式值/迹/特征多项式相等

（3）α?,α?,α?线性无关。Aα?＝？,Aα?＝？,Aα?＝？

? A（α?α?α?）＝（,？,）

?行列式性质（两边求行列式）

?AP＝PB（P??AP＝B?ⅠAⅠ＝ⅠBⅠ）

3.行列式性质（行列式可拆/合/数乘某一行列）

5.特征值Aα＝λα,ⅠAⅠ＝∏λi



0多直接用行（列）展开公式（或先化简一行/列等）

（1）部分行列式有规则（如行列之和相等,然而其他行毫无规则,考虑化简展開）

（2） 某行（列）对应余子式为三角型,可考虑展开

1）0位置规则?拉普拉斯。

0的位置特殊可以联想一下拉普拉斯（移动0并分块/先对一部分消元）

2）各行（列）元素之和相同（+对称矩阵）

行（列） 和相同所有列（行）加到某一列（行），提出此列（行）的公因子

前提：提取公因子后,可以化为三角型（对称矩阵）不然考虑直接展开（如果0多）

3）特殊的三对角线行列式：

①三角化法 （如逐行相加）/把每行都加箌第一行

②归纳法（n阶行列式）

4）若行列相加 消元?考虑逐行列相加

①营造爪型（如各行倍加第一行）

②化三角型（用三角化法）

B的列向量是齐次方程组AX＝0的解（B≠0时为非零解）

基础解系为n-r（A）,但B只是部分解向量的矩阵?B的列向量个数≤n-r（A）?r（B）≤n-r

也可以化简得出m阶单位矩阵?剩下n-m个自由向量（r（A）＜n,无穷多解）

齐次方程组（线性无关）解向量为n-r（A）个?B向量小于等于n-r（A）个? r（B）≤n-r

（Aα＝λα,α≠0,λ为特征值,α为对应的特征向量）? ⅠλⅠ＝∏λi

2）线性相关（无关）判定
行列式＝0 ? （向量组）线性相关

3）可逆证明 ⅠAⅠ≠0

①对角线乘积加减法僅适用于二三阶行列式

②复杂三阶和三阶以上不用对角线乘积加减法

4+阶用行列式按行（列）展开公式

1.行列式转置,行列式的值不变→行/列性質相同

2.对换两行（列） 行列式变号

3.k乘一行（列）等于k乘行列式（也可提k出去）

4.行列式可拆/合某一行（列）
其他行（列）维持原状,每次只能拆一行（列）

目的：倍加得0,或得公因数

（1）两行（列）完全相同/成比例/→行列式为0

（2）一行（列）全为0→行列式为0

（1）选零多的行（列）

（2）优先选代数余子式中有三角型的

★★注意代数余子式有符号（-1）^（i+j） * Mij

注意计算过程中随着行列式的变换（如a11*A11）,、

A11当做独立的矩阵去判斷（不要再按着元素在原来矩阵的位置来找代数余子式）

①上三角/下三角（主对角线）

→行列式的值为主对角线元素的乘积

②副对角线三角（左/右）


③拉普拉斯：行列式内部分成四块矩阵,其中一块为零矩阵

副对角线一块为0→行列式为主对角线行列式乘

主对角线一块为0→副对角线行列式相乘,再乘（-1）^mn。 mn为两个矩阵的阶数


④范德蒙（第一行为1,其余行为第二行的次方）

行列式的值为第二行元素的减法乘积和

⑤（矩陣A）特征多项式：ⅠλE-AⅠ＝0

Aα＝λα,λ是A的特征值,α是A属于λ的特征向量

α是齐次方程组（λE-A）x＝0的非零解?ⅠλE-AⅠ＝0

★★★⑥行列式（方陣）重要公式

（4）推导,由A*＝A??·丨A丨及（5）
（5）推导 A??A＝E,两边 取行列式

1：观察主对角线外元素,哪两行（列）倍加可消元（使非0主对角線外元素变成0）

2：在①的基础上,若此两行（列）倍加后,该行（列）出现a-r的公因数?执行倍加

3：倍加后,再通过倍加将该行（列）消元,即保留主对角线上的未知数,消该行（列）上其他含未知数的元素

通过倍加消元不要试图提取公因子

（可再次对该行（列）使用回避法）

4.最后用此行（列）进行 行列式展开

不要求行列式三角型,要求该行（列）仅主对角线上有一个元素λ+a

1.方程组系数行列式≠0?方程组无线相关?方程組有唯一解（否则无穷）

2.向量组相关?至少一个向量能由其余向量线性表示?行列式＝0

?齐次方程组仅有一组零解（否则有无穷多解）

3.克拉默适用于齐次/非齐次方程组,但通常仅用来判断齐次方程组有无非零解

4.用克拉默,求特殊非齐次方程组解（n个方程,n个未知数,且ⅠAⅠ≠0,即方程組有唯一解）


★Di：系数行列式D的第i列换成常数项列

（1）行列式成比例?行列式＝0（反之不成立）

（2）行列式≠0?行列式不成比例（反之不荿立）

1.行列式的每一行（列）乘其他行（列）的代数余子和为零

★代数余子式Aij的值与aij的大小无关

普通用法：按行（列）展开?行（列）元素乘对应代数余子式的和
用来和对应元素做乘积和 aijAij

第i行元素乘j行代数余子式 的值（i≠j）∑aijAij ?由于第j行的代数余子式Aij与aij无关, ∑aijAij 相当于新行列式（其他行不变,第j行元素变成第i行的元素） 按照第五行展开的式子? 新行列式＝0?∑aijAij＝0

2.x的n次多项式?有n个x的复解（包含重根）

fx=|~~|? 求fx=0有几根（包括重根） 等同于 求fx是x的几次多项式（化简/变形求）

5.矩阵与行列式运算区别

矩阵的数乘,加减都是对所有元素

行列式数乘是对一行列,行列式无加减公式,可拆合一行/列（其他行列不变,一次拆合一行/列）
①ⅠkAⅠ＝k?ⅠAⅠ

行列式倍加不变,互换变号
矩阵初等变换（互换/倍加/数乘,k≠0）仍等价。

初等变换只在特定情况下使用（如解方程组）,因为矩阵是表格,初等变换以后就不是原来的矩阵了

主对角线运算时正常,副对角线運算时总有负数

副对角线有行列式运算法则,无矩阵变换法则

7.矩阵每行元素之和为λ

?λ为矩阵的一特征值,且对应特征向量（1…1）?

方法一（营造新的行列式可求）：

通过求A*（求A??,丨A丨） 得到代数余子式

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