如何求出一个积分的逆，即求出其求反常积分三步骤。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-09 14:48 标签： 求反常积分三步骤
1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节第四节常义积分常义积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分反常积分 ( (广义积分广义积分) )反常积分反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线曲线21xy 和直线和直线1 x及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积边梯形的面积21yx a1可记作记作21dxax 其含义可理解为其含义可理解为 bbxxa12dlimbbbx11limbb11lim1定义定义1. 设设, ),)(acxf,ab 取若若xxfbabd)(lim存在存在 , 则称此2、极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限反常积分反常积分, 记作记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分这时称反常积分xxfad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfad)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ,()(bcxf则定义则定义xxfxxfbaabd)(limd)(, ),()( cxf若若则定义则定义 xxfd)(xxfcaad)(lim xxfbcbd)(lim ( c 为任意取定的常数为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称xxfd)( 发散发散 .无穷限的反常积分也称为无3、穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,)()(的原函数是若xfxf引入记号引入记号()lim( );xff x ()lim( )xff x 则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式 :( )daf xx )(xfa)()(aff( )dbf xx )(xfb)()(fbf( )df xx )(xf)()(ff解解 . 001xxe dxe 3.3.例题例题 例例1 计算广义积分计算广义积分 . dxex0 这个广义积分值的几这个广义积分值的几t时，图时，图5 57 7中阴影部中阴影部其面积却有极限值其面积却有极限值1 1 .分向左无限延伸，但分向左无限延伸，但4、何意义是何意义是, ,当当yxo1txey 图57例例2.2. 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2 思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .解解 00 xdxsinxdxsindxxsin.xcosxcos00极限不存在极限不存在 dxxsin是发散的是发散的 例例3 计算广义积分计算广义积分 . dxxsin若认为积分区间关于原点对称，被积函数为若认5、为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数，得出结果为零，奇函数，得出结果为零，计算就错了计算就错了.例例4.4. 证明第一类证明第一类 p 积分积分d(0)paxax 证证:当当 p =1 时有时有 axxdaxlnapxxdappx11当当 p 1 时有时有 1p1p 1,1pap 当当 p 1 时收敛时收敛 ; p1 时发散时发散 .,因此因此, 当当 p 1 时时, 反常积分收敛反常积分收敛 , 其值为其值为1;1pap 当当 p1 时时, 反常积分发散反常积分发散 . 例例5.5. 计算反常积分计算反常积分. )0(d0ptettp解解:pttep 00d1teptptpep210216、p 0ptetdp 原原式式= =二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线曲线xy1所围成的所围成的1x与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作10dxxa其含义可理解为其含义可理解为 10dlimxxa12lim0 x)1 (2lim021yx 0a1xy 定义定义2.2. 设设, ,()(bacxf而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,0取存在存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分这时称反常积分xxfbad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfba7、d)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ),)(bacxf而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限若极限baxxfd)(lim0数数 f (x) 在在 a , b 上的反常积分上的反常积分, 记作记作则定义则定义则称此极限为函则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称无界点常称邻域内无界邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad8、)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则本质上是常义积分, 则定义则定义注意注意: 若瑕点若瑕点xxfcad)(,)()(的原函数是设xfxf的计算表达式的计算表达式 : ( )dbaf xx )()(afbf( )dbaf xx )()(afbf( )dbaf xx )()(afbf则也有类似牛则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点9、, 则则( , ),ca b 则则( )dbaf xx ( )()f bf c )()(afcf可相消吗可相消吗?xxfbcd)(112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例1. 计算反常积分计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式0arcsinaxa 1arcsin2 例例2. 讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x 所以反常积分所以反常积分112dxx发散发散 .例例3 3 计算广义积分计算广义积分 . dxx20211解解 因为因为 ，所以10、，所以 是瑕点是瑕点， 2111xlimx1xdxxdxxdxx212102202111111而而 ， 111111102tlimdxxt所以所以 发散发散. dxx20211. 注注：若按定积分计算（不考虑若按定积分计算（不考虑 是瑕点是瑕点),),就会导致以下的错误就会导致以下的错误. . 1x.xdxx2111120202证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq例例5 5 计算广义11、积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx21(ln )lndxx 1ln(ln2)lim ln(ln( )xx . 故原广义积分发散故原广义积分发散.21ln(ln )x 例例6 6 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx1031)1(3 x3 3132)1(xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 3131)1(3 x例例7 7 考察广义积分考察广义积分 的敛散性的敛散性. . 010pdxxp解解 是瑕点，积分区间是无穷区间，是瑕点，积分区间是无穷区间， 012、 x1001111pppdxdxdxxxx 当当 时收敛，当时收敛，当 时发散；时发散； 101pdxx 10 p1p11pdxx 1p10 p 当当 时收敛，当时收敛，当 时发散时发散. . 则广义积分则广义积分 发散发散. . dxxp01内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap说明说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积
导读：反常积分的计算是高等数学中的一项重要内容，其涉及到一些特殊的积分函数，需要对不同种类的反常积分进行分析，选择不同的计算方法，才能获得正确的积分结果。本文将介绍一些常见的反常积分计算方法，如分部积分法、换元积分法、极限判别法等，帮助读者更好地掌握反常积分的计算方法。 1. 分部积分法 分部积分法是反常积分中比较常用的一种计算方法，其基本思路是对于形如∫udv的积分式，使用公式∫udv=uv-∫vdu进行变形，从而得到一个新的积分式。分部积分法适用于一些可以分解为两个函数乘积形式的函数，如ln(x)、sin(x)、cos(x)等。例如，下面我们来看一道利用分部积分法计算反常积分的例子：∫1/x^2 dx 解法如下：设u = 1， dv = 1/x^2 dx，则有：du/dx = 0，v = -1/x根据分部积分公式可得：∫1/x^2 dx = -1/x -∫(-1/x^2)dx= -1/x + 1/x = 0因此，反常积分∫1/x^2 dx的积分结果为0。 2. 换元积分法 换元积分法，又称变量代换法，是反常积分中比较实用的一种计算方法，其基本思路是将积分变量通过某种替换方式换成一个新的变量，从而得到一个新的积分式。换元积分法适用于一些可以通过变换变得容易求解的积分式，如三角函数、指数函数等。例如，下面我们来看一道利用换元积分法计算反常积分的例子：∫e^x/(1+e^x)^2 dx 解法如下：设u = 1+e^x，则有：du/dx = e^x，dx = du/e^x将x代入原式中得到：∫e^x/(1+e^x)^2 dx = ∫du/u^2= -1/u + C将u = 1+e^x代入上式中得到：-1/(1+e^x) + C因此，反常积分∫e^x/(1+e^x)^2 dx的积分结果为-1/(1+e^x) + C。 3. 极限判别法 极限判别法是反常积分中应用极限概念进行分析的一种方法，其原理是对于某些反常积分，当积分变量趋向于某个无穷大或无穷小时，积分结果是否存在有着决定性的影响。极限判别法适用于一些没有原函数，但极限存在的积分式，如sin(x)/x、1/x等。例如，下面我们来看一道利用极限判别法计算反常积分的例子：∫1/(x^2+1) dx 解法如下：当x趋向正无穷时，有：x^2+1 > x^2，1/(x^2+1)
因此，当x趋向正无穷时，积分式的积分结果趋向为0。当x趋向负无穷时，将积分式变形一下得到：∫1/(x^2+1)dx = ∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C因此，反常积分∫1/(x^2+1) dx的积分结果为arctan(x) + C。总结：反常积分计算是高等数学中的重要内容之一，使用不同的积分方法可以有效求解积分问题。本文主要介绍了反常积分的分部积分法、换元积分法和极限判别法，通过实例的讲解加深了对这些方法的理解和应用。在实际计算中，应根据具体的题目特点，选择合适的计算方法，才能更好地解决反常积分问题。

一、题目已知函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，且 $a>0$, $g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t
f(t) \mathrm{d} t$, 则在 $[-a, a]$ 上是偶函数还是奇函数？难度评级：二、解析 本题中出现了两个变量 $x$ 和 $t$, 但由 “$\mathrm{d} t$” 可知，在 $g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t
f(t) \mathrm{d} t$ 中，只有 $t$ 可以被视作变量，$x$ 在这个式子中要被看作常数处理。方法 1：不去根号$$g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t
f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow$$$$g(-x)=\int_{-a}^{a}|-x-t
f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow$$$$g(-x)=\int_{-a}^{a}|x+t
f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow$$$$t=-u \Rightarrow u=-t \Rightarrow \mathrm{~d} t=-\mathrm{~d} u \Rightarrow$$$$g(-x)=-\int_{+a}^{-a}|x-u
f(u) \mathrm{~d} u \Rightarrow$$$$g(-x)=\int_{-a}^{+a}|x-u
f(u) \mathrm{~d} u \Rightarrow$$$$u=t \Rightarrow \int_{-a}^{a}|x-t
f(t) \mathrm{~d} t=g(x)$$综上可知，函数 $g(x)$ 在 $[-a, a]$ 上是偶函数。方法 2：去根号首先，由题可分类如下：$$x-t>0 \Rightarrow \quad x>t \geqslant-a$$$$x-t<0 \Rightarrow \quad x<t \leq a$$于是：$$g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t
f(t) \mathrm{~d} t=$$$$g(x)=\int_{-a}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{~d} t+\int_{x}^{a}(t-x) f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow$$$$g(x)=x \int_{-a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t-\int_{-a}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t+\int_{x}^{a} t f(t) \mathrm{~d} t-x \int_{x}^{a} f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow$$$$g^{\prime}(x) = \int_{-a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t+x f(x)-x f(x)-x f(x)-$$$$\quad \int_{x}^{a} f(t) \mathrm{~d} t+x f(x) \Rightarrow$$$$g^{\prime}(x)=\int_{-a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t-\int_{x}^{a} f(t) \mathrm{~d} t$$于是：$$g^{\prime \prime}(x)=f(x)+f(x)=2 f(x)$$如果题目中说 $f(x) > 0$, 则这里可以直接判断出来 $g(x)$ 为偶函数——在本题中，由于 $f(x)$ 是偶函数，因此，$g^{\prime \prime}(x)$ 是偶函数，进而可知，$g^{\prime}(x)$ 是奇函数，最终可知，$g(x)$ 是偶函数。高等数学
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作者
荒原之梦发布于 2023年5月31日2023年5月31日分类 基础科学、高等数学标签 考研数学、高等数学练习题
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