虚数的平方是什么叫做虚数数？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-12 08:05 标签： 什么叫做虚数

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虚数i的平方等于负1，以下是其定义：虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字，后来发现虚数a加b乘i的实部a可对应平面上的横轴虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a加b乘i可与平面内的点a，b相对应，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字，在数学中，虚数就是形如a加b乘i的数，其中a，b是实数，且b不等于0时，i的平方等于负1。
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个人看法，非严谨结论。虚数不是虚无，虚空，虚数和实数一样是实在的一种表达。我认为复数不是矢量，仍然是一个标量，所以我不太认同有的同学将虚数认为是一个单独的维度。虚数更像一个自由度。如果说实数是轴，代表一个可以在轴向上放大缩小，前进后退的自由度，虚数就是绕轴的旋转，可以左转右转，转多转少的一个自由度。物理上一般用实数表示某一个可测量的刻度，包括不限于角度、标量、时间等。可以是“两个点之间的距离”，“两条线之间的角度”等等。你想把一个刻度x放大两倍，就是x*2.复数中虚部的符号i 可以在物理上代表“原地逆时针旋转1/4周”，如果广义一点，就是“1/4周”。你想让一个东西旋转 90度(1/4周)，就是 x*i.实数是一种像射线一样的数，而虚数是一个周向的，旋转的数。与实数相乘是缩小或膨胀，与虚数相乘是旋转。实数指数函数 y=a^{x}, x\in\Re 可以认为是表达物理在 x 这个维度下所占的空间体积，而实数的虚数指数 y=a^{x}, x\in\Im 可以认为是在复数空间里旋转 x 这么多角度。例如2+5i, 其实是2+5*i, 即 刻度2加上逆时针旋转1/4周的刻度5。虚数指数 y=a^{xi}, xi\in\Im 表达旋转角度。可以这么理解： y=a^{xi}=e^{bxi} 其中 a=e^{b} ，a,b可以是复数。以自然数e为底的指数函数直接可以使用欧拉公式了，指数就代表旋转的角度（弧度）。还有一个，有的同学说 1+i 就代表旋转45度，这个不太准确，应该是 i^{1/2} 代表1/8周，也就是45度，同理，1度就是 i^{1/90} , 452度就是 i^{452/90} . 实际上， 1+i = \sqrt{2} i^{1/2} ，也就是说，1+i是旋转了1/8周又放大了1.414倍。任何一个复数，都可以写成 a\cdot i^{\theta} 的形式，其中a 就是复数的“幅值”， \theta 就是复数的“辐角”，但是以多少个“1/4周”来表示。例如2+5i 就是 \sqrt{29}i^{2atan(5/2)/\pi} . 不严谨的写法就是文图里的 a+bi=\sqrt{a^{2}+b^2}\cdot i ^{2atan(b/a)/\pi} 。同理，实数 -1，可以看成是“原地旋转半周”， (-1)^{3} 就是原地旋转一周半 540度， (-1)^{\pi} 原地旋转3.1415....个半周，是多少呢？205.4867度(或者360deg+205.4867deg) ，复数表达就是 -0.9027-0.4303i ，或者用复指数方式 i^{2\pi } . 所以你看，虚数才不是虚无，实数函数随时能给你整出一个虚数表达来。自然数 1，可以看成原地旋转360度，也可以看成原地旋转 0 度，但是两种看法在计1^0.25的时候就会出现分歧。前者就是“旋转1/4周”，后者是不旋转，那么前者可以得到 1^0.25 = i ，后者还是得到1。这个其实都对（复数的幂函数不只代表一个数，因为 i^{4n}=1 ，可以利用 1^a=(i^{4n} )^a=i^{4na} 来得到多个解）.虚数当然有很多有用的推论，例如著名的欧拉公式 e^{ix}=cos(x)+i sin(x) ，在电力电子电机控制等领域非常有用。而且，欧拉公式提供了另一个实数虚数互换的桥梁： e^{i\pi}=-1 或 i=ln(-1)/\pi=e^{\pi i/2} 。比如计算 i^i ，虚数的虚数次幂，其实就可以写成 i^{i}=(-1)^{i/2}=e^{i\pi\cdot i/2}=e^{-\pi/2}\approx0.2079 （只是其中的一个解，详解请参考链接）借用欧拉公式以后，e^{ix}=cos(x)+i sin(x)=i^{2x/\pi}，旋转1弧度可以写为 i^{2/\pi }=e^i ，因为“1/4周”等于 i ，一周就是 i^4 ，而一周有 2\pi 弧度，所以1/4周就是 i^{\frac{4}{2\pi}}=i^{2/\pi } 。所以其实你但凡看到有 e^{i\varphi} 形式的表达式，意思是旋转了 \varphi 弧度，你去改一笔，写成 i^{2\varphi/\pi} 那是绝对正确还很能蒙人的。还有一个好玩的 e^{x}=cos(ix)-i sin(ix) 一个实数指数函数竟然可以用复三角函数来表达。这个实际物理中恐怕用到的就不多了。但是，也有一些地方有些许不便，例如相量法表达某一瞬间的三相电流：I_{a}=1 (A),
I_{b}=- \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i
(A),
I_{c}=- \frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i
(A)看着挺麻烦，即使写成指数形式 I_b = i ^{4/3}, I_c = i^{8/3} 似乎也不太简便。因为i 代表1/4周旋转，而三相电之间相差1/3周，不太合拍。那么，定义一个新的虚数 y, 代表“原地逆时针旋转1/3周”如何？该瞬间的三相电流就可以表达为：I_{a}=1 (A), I_{b}=y (A), I_{c}=-y=y^2 (A)明显简单不少吧？同样，既然定义-1的平方根是{i, -i}, 那么-1的立方根就是{-1, y, -y}.再或者，我们定义 \sqrt{i} =\pm j , 那么就是 j 在物理上代表“原地逆时针旋转1/8 周”，搞不好可以用来数学描述一下八卦图。所以，虚数不过是我们创造的一个数学工具，它是一种描述物理现实的表达和语言，简便的表达，美丽的语言。你用这个语言来描述不同的物理现实时，就会具有不同的物理意义。你可以不用虚数符号 i, 就用 (-1)^{0.5} 来表达同样的意思，但是，物理研究既然已经发展到一定的高度，需要这个“旋转之数”的概念，那我们就不能不用这个语言。我们也随时可以创造出一种新的虚数语言或者定义，只不过恰好“1/4周”的这个虚数定义符合大多数人的审美和习惯罢了。更新：工程师咸知也一直在想为啥恰好是自然数e为底的，指数为 i 的结果就是1弧度呢？即为啥偏偏是 i^{2/\pi}=e^i 。我能变成 i^y=\pi ^{i} 吗？这个y是多少？可以画一条曲线关系y=f(x)： i^y=x^i ，利用欧拉公式，可以简化为i^y=e^{\frac{\pi}{2}i\cdot y}=x^i=e^{i\cdot ln (x)} \Rightarrow \frac{\pi}{2} y = ln(x) ,所以任何满足这个条件的常数都可以用来修改上述式子，那么令 x=\pi , y=\frac{2}{\pi}ln (\pi) , 即 i^{\frac{2}{\pi}ln (\pi)}=\pi^i。另一个理解 (-1)^{1/\pi}=e^i 的角度就是，-1是旋转180度， (-1)^{1/\pi} 就是旋转1弧度，即 (-1)^{1/\pi}=\cos (1) +i\sin(1) ，所以对任意实数 x 弧度，有 (-1)^{x/\pi} = \cos (x) +i \sin(x) y=x=e^{\ln(x)}=e^{i\cdot (-i )\cdot \ln(x)}=\cos(-i\cdot \ln(x))+i \sin(-i\cdot \ln(x))=\cos(i\cdot \ln(x))-i \sin(i\cdot \ln(x))

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