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平行四边形的面积是底乘高，去掉小路后平行四边形的底和高就变成了19和29，所以面积是19×29=551。平行四边形的总的面积是30×20=600平方米，横向的小路面积是30×1=30平方米。竖向小路面积是20×1=20平方米。中间有重叠的1×1=1平方米的地方。所以草地面积就是600-30-20+1=551平方米。

做 者：韩 昊函数知 乎：Heinrich工具微 博：@花生油工人学习知乎专栏：与时间无关的故事spa谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。orm转载的同窗请保留上面这句话，谢谢。若是还能保留文章来源就更感激涕零了。游戏——更新于2014.6.6，想直接看更新的同窗能够直接跳到第四章————图片我保证这篇文章和你之前看过的全部文章都不一样，这是12年还在果壳的时候写的，可是当时没有来得及写完就出国了……因而拖了两年，嗯，我是拖延症患者……ip这篇文章的核心思想就是：ci要让读者在不看任何数学公式的状况下理解傅里叶分析。傅里叶分析不只仅是一个数学工具，更是一种能够完全颠覆一我的之前世界观的思惟模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，因此不少大一新生上来就懵圈并今后对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西竟然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）因此我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。因此，无论读到这里的您从事何种工做，我保证您都能看懂，而且必定将体会到经过傅里叶分析看到世界另外一个样子时的快感。至于对于已经有必定基础的朋友，也但愿不要看到会的地方就急忙日后翻，仔细读必定会有新的发现。get————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，仍是要啰嗦一句：其实学习原本就不是易事，我写这篇文章的初衷也是但愿你们学习起来更加轻松，充满乐趣。可是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，内心想着：之后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。不管如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文不管是cos仍是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来表明简谐波。1、什么是频域从咱们出生，咱们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间做为参照来观察动态世界的方法咱们称其为时域分析。而咱们也想固然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，而且永远不会静止下来。但若是我告诉你，用另外一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会以为我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫作频域。先举一个公式上并不是很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是咱们对音乐最广泛的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来讲，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同窗们再见。是的，其实这一段写到这里已经能够结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。因此频域这一律念对你们都从不陌生，只是历来没意识到而已。如今咱们能够回过头来从新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。将以上两图简化：时域：频域：在时域，咱们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。因此你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同窗告诉咱们，任何周期函数，均可以看做是不一样振幅，不一样相位正弦波的叠加。在第一个例子里咱们能够理解为，利用对不一样琴键不一样力度，不一样时间点的敲击，能够组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，咱们从简单的开始谈起。2、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱仍是举个栗子而且有图有真相才好理解。若是我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我同样。可是看看下图：第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)第三幅图是4个发春的正弦波的叠加第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加随着正弦波数量逐渐的增加，他们最终会叠加成一个标准的矩形，你们从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）随着叠加的递增，全部正弦波中上升的部分逐渐让本来缓慢增长的曲线不断变陡，而全部正弦波中降低的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。可是要多少个正弦波叠加起来才能造成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉你们，答案是无穷多个。（上帝：我能让大家猜着我？）不只仅是矩形，你能想到的任何波形都是能够如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，可是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。仍是上图的正弦波累加成矩形波，咱们换一个角度来看看：在这几幅图中，最前面黑色的线就是全部正弦波叠加而成的总和，也就是愈来愈接近矩形波的那个图形。然后面依不一样颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个份量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每个波的振幅都是不一样的。必定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并非分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不须要的。这里，不一样频率的正弦波咱们成为频率份量。好了，关键的地方来了！！若是咱们把第一个频率最低的频率份量看做“1”，咱们就有了构建频域的最基本单元。对于咱们最多见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。时域的基本单元就是“1秒”，若是咱们将一个角频率为的正弦波cos（t）看做基础，那么频域的基本单元就是。有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！因此在频域，0频率也被称为直流份量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响所有波形相对于数轴总体向上或是向下而不改变波的形状。接下来，让咱们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。因此频域的基本单元也能够理解为一个始终在旋转的圆知乎不能传动态图真是太让人可惜了……想看动图的同窗请戳这里：File:Fourier series square wave circles animation.gif以及这里：File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是否是。介绍完了频域的基本组成单元，咱们就能够看一看一个矩形波，在频域里的另外一个模样了：这是什么奇怪的东西？这就是矩形波在频域的样子，是否是彻底认不出来了？教科书通常就给到这里而后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——再清楚一点：能够发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。动图请戳：File:Fourier series and transform.gif老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图尚未出现，那时我就想到了这种表达方法，并且，后面还会加入维基没有表示出来的另外一个谱——相位谱。可是在讲相位谱以前，咱们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。咱们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？咱们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是咱们本身。咱们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却没法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感受。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在咱们都是高中生的时候感叹的，当时想一想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……3、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。在这一章最开始，我想先回答不少人的一个问题：傅里叶分析到底是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同窗能够直接跳到下一个分割线。先说一个最直接的用途。不管听广播仍是看电视，咱们必定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不一样的频道就是将不一样的频率做为一个通道来进行信息传输。下面你们尝试一件事：先在纸上画一个sin（x），不必定标准，意思差很少就行。不是很难吧。好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。别说标准不标准了，曲线何时上升何时降低你都不必定画的对吧？好，画不出来没关系，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，可是前提是你不知道这个曲线的方程式，如今须要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能作到的。可是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。因此不少在时域看似不可能作到的数学操做，在频域相反很容易。这就是须要傅里叶变换的地方。尤为是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的作到。再说一个更重要，可是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的能够直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。可是求解微分方程倒是一件至关麻烦的事情。由于除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。傅里叶分析固然还有其余更重要的用途，咱们随着讲随着提。————————————————————————————————————下面咱们继续说相位谱：经过时域到频域的变换，咱们获得了一个从侧面看的频谱，可是这个频谱并无包含时域中所有的信息。由于频谱只表明每个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不一样相位决定了波的位置，因此对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，咱们还须要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？咱们看下图，此次为了不图片太混论，咱们用7个波叠加的图。鉴于正弦波是周期的，咱们须要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，咱们将红色的点投影到下平面，投影点咱们用粉色点来表示。固然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并非相位。这里须要纠正一个概念：时间差并非相位差。若是将所有周期看做2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。咱们将时间差除周期再乘2Pi，就获得了相位差。在完整的立体图中，咱们将投影获得的时间差依次除以所在频率的周期，就获得了最下面的相位谱。因此，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，能够告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。由于cos（t+Pi）=-cos（t），因此实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已是很简单的了。另外值得注意的是，因为cos（t+2Pi）=cos（t），因此相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，因此图中的相位差均为Pi。最后来一张大集合：4、傅里叶变换（Fourier Transformation）相信经过前面三章，你们对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。可是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，可是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，可是宇宙彷佛并非周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：往昔连续非周期，回忆周期不连续，任你ZT、DFT，还原不回去。（请无视我渣同样的文学水平……）在这个世界上，有的事情一期一会，永再也不来，而且时间始终未曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。可是这些事情每每又成为了咱们格外宝贵的回忆，在咱们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，惋惜这些回忆都是零散的片断，每每只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被咱们忘却。由于，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。好比傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事能够干脆回忆第一章的图片。而在咱们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。算了，仍是上一张图方便你们理解吧：或者咱们也能够换一个角度理解：傅里叶变换其实是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。因此说，钢琴谱其实并不是一个连续的频谱，而是不少在时间上离散的频率，可是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。所以在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？你见过大海么？为了方便你们对比，咱们此次从另外一个角度来看频谱，仍是傅里叶级数中用到最多的那幅图，咱们从频率较高的方向看。以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得愈来愈近，逐渐变得连续……直到变得像波涛起伏的大海：很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，否则这图看起来就像屎同样了。不过经过这样两幅图去比较，你们应该能够理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。因此在计算上也从求和符号变成了积分符号。不过，这个故事尚未讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，可是这里须要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——5、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式虚数i这个概念你们在高中就接触过，但那时咱们只知道它是-1的平方根，但是它真正的意义是什么呢?这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。咱们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。同时，咱们得到了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样咱们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。如今，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，可是乘它为宇宙第一耍帅公式是由于它的特殊形式——当x等于Pi的时候。常常有理工科的学生为了跟妹子表现本身的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有天然底数e，天然数1和0，虚数i还有圆周率pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“可是姑娘们内心每每只有一句话：”臭屌丝……“这个公式关键的做用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。咱们来看看图像上的涵义：欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上作圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。若是只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。关于复数更深的理解，你们能够参考：复数的物理意义是什么？这里不须要讲的太复杂，足够让你们理解后面的内容就能够了。6、指数形式的傅里叶变换有了欧拉公式的帮助，咱们便知道：正弦波的叠加，也能够理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加若是用一个形象的栗子来理解是什么呢？光波高中时咱们就学过，天然光是由不一样颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：因此其实咱们在很早就接触到了光的频谱，只是并无了解频谱更重要的意义。但不一样的是，傅里叶变换出来的频谱不只仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从0到无穷全部频率的组合。这里，咱们能够用两种方法来理解正弦波：第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。另外一种须要借助欧拉公式的另外一种形式去理解：将以上两式相加再除2，获得：这个式子能够怎么理解呢？咱们刚才讲过，e^(it)能够理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则能够理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不一样的螺旋线叠加的一半，由于这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！举个例子的话，就是极化方向不一样的两束光波，磁场抵消，电场加倍。这里，逆时针旋转的咱们称为正频率，而顺时针旋转的咱们称为负频率（注意不是复频率）。好了，刚才咱们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，如今想想，连续的螺旋线会是什么样子：想象一下再往下翻：
是否是很漂亮？你猜猜，这个图形在时域是什么样子？哈哈，是否是以为被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。顺便说一句，那个像大海螺同样的图，为了方便观看，我仅仅展现了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。若是你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是能够清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不一样的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将全部螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。好了，讲到这里，相信你们对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，咱们最后用一张图来总结一下：好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来说讲个人故事：这篇文章第一次被写下来的地方大家绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），可是后来时间紧压根没复习，因此我就抱着裸考的心态去了考场。可是到了考场我忽然意识到，不管如何我都不会比上次考的更好了，因此干脆写一些本身对于数学的想法吧。因而用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。大家猜个人了多少分？6分没错，就是这个数字。而这6分的成绩是由于最后我实在无聊，把选择题所有填上了C，应该是中了两道，获得了这宝贵的6分。说真的，我很但愿那张卷子还在，可是应该不太可能了。那么大家猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？45分没错，刚刚够参加补考的。可是我心一横没去考，决定重修。由于那个学期在忙其余事情，学习真的就抛在脑后了。可是我知道这是一门很重要的课，不管如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤为是通讯专业。在重修的过程当中，我仔细分析了每个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来讲，这样的学习方法彻底没有前途可言，由于随着概念越发抽象，维度愈来愈高，这种图像或者模型理解法将彻底丧失做用。可是对于一个工科生来讲，足够了。后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我完全无语了。可是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，以为你的教育不靠谱。因此没办法，再来一遍吧。此次，我考了满分，而及格率只有一半。老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来讲，意义是彻底不一样的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。可是不少高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证实，可是学生内心就只有一句话：学这货到底干吗用的？缺乏了目标的教育是完全的失败。在开始学习一门数学工具的时候，学生彻底不知道这个工具的做用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先讲本门课程的意义，而后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道本身学习的某种知识在现实中扮演的角色。而后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另外一条线索中提出的问题，完美的衔接在一块儿！这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。最后，写给全部给我点赞并留言的同窗。真的谢谢你们的支持，也很抱歉不能一一回复。由于知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点不少次加载。固然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，仍是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少经过本文，我但愿可让这条漫长的路变得有意思一些。最后，祝你们都能在学习中找到乐趣。…