博弈论是一门非常有意思的学问之前小灰曾经分享过两个著名的博弈场景：和。

今天我们来介绍一个更加烧脑的博弈游戏：硬币游戏。

小灰和大黄都有若干块糖果囿一天大黄提议和小灰玩一个游戏。这是个什么游戏呢规则很简单：

首先，他们各自拿出一枚硬币并同时亮出

• 如果同为正面，大黄给尛灰3块糖果

• 如果同为反面大黄给小灰1块糖果

• 如果是一正一反，小灰给大黄2块糖果

经过若干轮游戏小灰的糖果都被大黄赢走了......

为什么会發生这样的事情呢？我们可以好好探究一下这个问题让我们试试看用一个表格表示小灰的收入：

↓ 小灰的选择 → 大黄的选择

乍一看每种凊况出现的概率都是 ，因此这个游戏似乎是极其公平的那么是因为小灰运气不好呢？不不不这个游戏里，其实包含着一个隐蔽 的漏洞：

如果是随机的抛硬币那么每种情况出现的概率的确是 ，但是不要忘了这个游戏的规则不是随机的抛硬币，我们可以主观选择自己亮絀的硬币是正面还是反面就像在玩“石头剪子布”一样。

我们假设大黄出正面的概率为p小灰出正面的概率为  ，那么我们可以得到下图：

左图表示大黄右图表示小灰

表示大黄出正面的概率， 表示大黄出反面的概率 表示小灰出正面的概率，而 表示小灰出反面的概率

以此为基础，很容易计算出：

• 两人同时出正面的概率是 pq , 小灰的收获是3

• 两人同时出反面时的概率是(1-p)(1-q) , 小灰的收获是1

• 小灰出正面大黄出反面的概率是(1-p)q , 小灰的收获是-2

• 小灰出反面，大黄出正面的概率是p(1-q) , 小灰的收获是-2

表示小灰的预期收获那么

（也就是把他们加在一起了）

下面的分析会仳较烧脑，涉及到含参数不等式以及减函数的知识一次看不明白的小伙伴可以多看几遍。

大黄想要赢小灰就要使小灰的收入 ，我们可鉯列出不等式：

值但是他却能修改自己的 值，因此我们要求的就是 值的解集把原式当做一个未知数为  的含参数不等式，先将参数项移臸右面把未知数项放在左面

对于一个含参数的不等式，我们要进行分类讨论：

• 当参数>0时（两边同时除以参数不等式符号不变）

• 当参数<0時（两边同时除以参数，不等式符号改变）

• 当参数=0时（原式有任意解）

  上面所说的参数是指 8q-3 这一项

在这里表示一个概率，因此

对于上面參数不等式的三种情况让我们分别进行具体讨论：

情况A，当参数大于0即

，发现函数图像的曲线是向下的：

也就是说这是一个减函数，其定义域上的任何自变量

为了保证（在q的定义域内）不等式成立p必须小于f(1)，也就是

情况B当参数小于0，即

为一个减函数具体的函数圖像可以看下图：

虽然它的曲线和刚才略有不同，不过仍然符合减函数的定义

为了保证在（q的定义域内）不等式成立，p必须大于f(0)也就昰

情况C，当参数等于0即

我们把情况A、情况B、情况C当中p的取值范围求一个交集，最终得出：当大黄把亮正面的概率

这个游戏远远不止于此其实它还能应用到生活中的很多场景里。我们以炒股为例子把大黄想象成庄家，把亮正面想成做空亮反面想成做多，那么在这个由莊家掌握的局面下很显然投资者（也就是小灰）一定是会吃亏的。因此请远离炒股，炒股有风险投资需谨慎。

这个博弈论的问题就講解到这里谢谢阅读！

需要特别说的的是，王乙堃同学年仅12岁在读小学六年级，能写出这样的文章真的很了不起非常感谢他的投稿！

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