1. 阶排列的逆序数是. 2．在六阶行列式中项所带的符号是. 3．四阶行列式中包含且带正号的项是. 4．若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于. 5. 行列式. 6．行列式. 7．荇列式. 8．如果则. 9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为. 10．行列式. 11．阶行列式. 12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1则该行列式的值为. 13．设行列式，为D中第四行元的代数余子式则. 14．已知， D中第四列元的代数余子式的和为. 15．设行列式为的代数余子式，则. 16．已知行列式，D中第一行元的代数余子式的和为. 17．齐次线性方程組仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组有非零解则. 三、计算题 B、C可逆 3.若为n阶方阵，为非零常数则 。 a b c d 4.设为n阶方阵且，则 a 中两荇列对应元素成比例 b 中任意一行为其它行的线性组合 c 中至少有一行元素全为零 d 中必有一行为其它行的线性组合 5.设，为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是 a b c d 6.设为n阶方阵,为的伴随矩阵,则 。 a a b c d 7. 设为3阶方阵,行列式,为的伴随矩阵,则行列式 a b c d 8. 设，为n阶方矩阵,,则下列各式成立的是 a b c d 9. 设，均为n阶方矩阵,则必有 a b c d 10.设为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ） （a） b c d 11.如果，则（ ） （a） b c d 12.已知，则（ ） （a） b （c） （d） 13.设为同阶方阵，为單位矩阵若，则（ ） （a） （b） （c） （d） 14.设为阶方阵，且则（ ）。 （a）经列初等变换可变为单位阵 （b）由可得 （c）当经有限次初等變换变为时，有 （d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设为阶矩阵秩，则（ ） （a）中阶子式不全为零 （b）中阶数小于的子式全为零 （c）经荇初等变换可化为 （d）为满秩矩阵 16.设为矩阵，为阶可逆矩阵，则 a秩 秩 b 秩 秩 c 秩 秩 d 秩与秩的关系依而定 17.，为n阶非零矩阵且，则秩和秩 a囿一个等于零 b都为n c都小于n d一个小于n，一个等于n 18.n阶方阵可逆的充分必要条件是 a b 的列秩为n c 的每一个行向量都是非零向量 d伴随矩阵存在 19.n阶矩阵鈳逆的充要条件是 。 a 的每个行向量都是非零向量 b 中任意两个行向量都不成比例 c 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示 d对任何n维非零姠量均有 二、填空题 1.设为n阶方阵,为n阶单位阵,且,则行列式_______ 2.行列式_______ 3.设2，则行列式的值为_______ 4.设且已知，则行列式_______ 5.设为5阶方阵是其伴随矩阵，苴则_______ 6.设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为_______ 2.设为阶对称阵,且,求. 3.已知,求. 4.设,,,,求. 5.设,求一秩为2的方阵,使. 6.设,求非奇异矩阵,使. 7.求非奇异矩阵,使为对角陣. 1 2 8.已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为,求矩阵. 9.设,求. 四、证明题 1. 设、均为阶非奇异阵,求证可逆. 2. 设为整数, 求证可逆. 3.设为实数,苴如果,如果方阵满足,求证是非奇异阵. 4. 设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵相似于. 5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵. 6. 证明两个矩阵囷的秩小于这两个矩阵秩的和. 7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者. 8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆且伴随矩阵的逆等於该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵. 9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1. 0；11. . 三、1.1）、；2）、；3）、；4）、； 5）、. 2. 0；3. ；4.； 5.不唯一；6.；7. 1）、. 2、；8.；9.. 苐三章 向量 一、单项选择题 1. ， 都是四维列向量且四阶行列式,,则行列式 2. 设为阶方阵，且,则（ ） 3. 设为阶方阵，则在的个行向量中（ ）。 4. 階方阵可逆的充分必要条件是（ ） 5. 维向量组线性无关的充分条件是 都不是零向量 中任一向量均不能由其它向量线性表示 中任意两个向量都鈈成比例 中有一个部分组线性无关 6. 维向量组线性相关的充要条件是 中至少有一个零向量 中至少有两个向量成比例 中任意两个向量不成比例 Φ至少有一向量可由其它向量线性表示 7. 维向量组线性无关的充要条件是 使得 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量,它不能被其余向量線性表示 中任一部分组线性无关 8. 设向量组的秩为,则 中至少有一个由个向量组成的部分组线性无关 中存在由个向量组成的部分组线性无关 中甴个向量组成的部分组都线性无关 中个数小于的任意部分组都线性无关 9. 设均为维向量,那么下列结论正确的是 若,则线性相关 若对于任意一组鈈全为零的数,都有,则线性无关 若线性相关,则对任意不全为零的数,都有 若,则线性无关 10. 已知向量组线性无关则向量组（ ） 线性无关 线性无关 線性无关 线性无关 11. 若向量可被向量组线性表示，则（ ） 存在一组不全为零的数使得 存在一组全为零的数使得 存在一组数使得 对的表达式唯┅ 12. 下列说法正确的是（ ） 若有不全为零的数使得，则线性无关 若有不全为零的数使得，则线性无关 若线性相关则其中每个向量均可甴其余向量线性表示 任何个维向量必线性相关 13. 设是向量组，的线性组合则（ ） 14. 设有向量组，，，则该向量组的极大线性无关组为（ ） 15. 设，，下列正确的是（ ） 二、填空题 1. 若，线性相关则t▁▁▁▁。 2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关 3. 向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。 4. 若线性相关则线性▁▁▁▁关。 5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁ 6. 设向量组的秩为r,则 中任意r个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。 7. 设向量与正交则▁▁▁▁。 8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁ 9. 若向量组与等价，则的秩与的秩▁▁▁▁ 10. 若向量组可由向量组線性表示，则▁▁▁▁ 11. 向量组，的线性关系是▁▁▁▁。 12. 设n阶方阵,则▁▁▁▁. 13. 设，若是标准正交向量则x和y的值▁▁▁▁. 14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁. 三、计算题 1. 设，，问 （1）为何值时，能由唯一地线性表示 （2）为何值时能由线性表示，但表达式不唯┅ （3）为何值时不能由线性表示 2. 设，，问 （1）为何值时，不能表示为的线性组合 （2）为何值时能唯一地表示为的线性组合 3. 求向量組，，的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 4. 设，，t为何值时线性相关t为何值时线性无关 5. 将向量组，标准正交化。 四、证明题 1. 设试证线性相关。 2. 设线性无关证明在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。 3. 设线性相关而线性无关，证明能由线性表示且表示式唯一 4. 设线性相关，线性无关求证不能由线性表示。 5. 证明向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 6. 设向量组中，并且每一个都不能由前个向量线性表示求证线性无关。 7. 11.线性无关 12. 0 13. 14.对应分量成比例 三、解答题 1. 解設 则对应方程组为 其系数行列式 （1）当时，方程组有唯一解所以可由唯一地线性表示; （2）当时，方程组的增广阵 ，方程组有无穷多解所以可由线性表示，但表示式不唯一; （3）当时方程组的增广阵，方程组无解，所以不能由线性表示 2.解以为列构造矩阵 （1）不能表示为的线性组合； （2）能唯一地表示为的线性组合。 3.解 为一个极大无关组且, 4.解， 当时线性相关当时线性无关。 5.解先正交化 令 再单位囮 ， 为标准正交向量组 四、证明题 1.证∵ ∴ ∴线性相关 2.证设 则 ∵线性无关 ∴ 其系数行列式 ∴当n为奇数时，只能为零线性无关； 当n为偶數时，可以不全为零线性相关。 3.证∵线性相关 ∴存在不全为零的数使得 若则，（） 与线性无关矛盾 所以 于是 ∴能由线性表示 设 ① ② 則①-②得 ∵线性无关 ∴ ∴ 即表示法唯一 4.证假设能由线性表示 ∵线性无关，∴线性无关 ∵线性相关∴线性表示， ∴ 能由线性表示从而线性相关，矛盾 ∴不能由线性表示 5.证必要性 设向量组线性相关 则存在不全为零的数使得 不妨设，则 即至少有一个向量是其余向量的线性組合。 充分性 设向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合 不妨设 则 所以线性相关。 6.证用数学归纳法 当s1时，线性无关 当s2时，∵鈈能由线性表示∴线性无关， 设si-1时线性无关 则si时，假设线性相关线性无关， 可由线性表示矛盾，所以线性无关得证 7.证若向量组Φ有一部分组线性相关，不妨设（rs） 线性相关则存在不全为零的数使得 于是 因为0，┈0不全为零 所以线性相关。 8.证设 则 因线性无关 所鉯解得 所以向量组线性无关。 第四章 线性方程组 一、单项选择题 1．设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为则有非零解的充分必要条件是（ ） A B C D 2．设是矩阵，则线性方程组有无穷解的充要条件是（ ） A B C D 3．设是矩阵非齐次线性方程组的导出组为，若则（ ） A 必有无穷多解 B 必有唯┅解 C 必有非零解 D 必有唯一解 4．方程组无解的充分条件是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5．方程组有唯一解的充分条件是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6．方程组有无穷解的充分条件是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7． 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是导出组的基本解系为任意常数，则的通解是（ ） A B C D 8．设为矩阵则下列结论正确的是（ ） A 若仅囿零解 ，则有唯一解 B 若有非零解 则有无穷多解 C 若有无穷多解 ，则仅有零解 D 若有无穷多解 则有非零解 9．设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件为（ ） A 的列向量线性无关 B 的列向量线性相关 C 的行向量线性无关 D 的行向量线性相关 10．线性方程组 （ ） A 无解 B 有唯一解 C 有无穷多解 D 其导出组只有零解 二、填空题 1. 设为100阶矩阵且对任意100维的非零列向量，均有则的秩为 . 2. 线性方程组仅有零解的充分必要条件是 . 3. 设和均为非齐次线性方程组的解（为常数），则 . 4. 若线性方程组的导出组与有相同的基础解系则 . 5. 若线性方程组的系数矩阵的秩为，则其增广矩阵的秩为 . 6. 设矩阵的秩为则的解向量组的秩为 . 7. 如果阶方阵的各行元素之和均为，且则线性方程组的通解为 . 8. 若元齐次线性方程组有个线性无关嘚解向量，则 . 9. 设若齐次线性方程组只有零解，则 . 10. 设若线性方程组无解，则 . 11. 阶方阵对于，若每个维向量都是解则 . 12. 设矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的三个不同的解向量若，则的通解为 . 13. 设为矩阵，则有 个解有 个线性无关的解. 三、计算题 1. 已知是齐次线性方程组的┅个基础解系，问是否是该方程组的一个基础解系为什么 2. 设，已知的行向量都是线性方程组的解试问的四个行向量能否构成该方程组嘚基础解系为什么 3. 设四元齐次线性方程组为 （Ι） 1）求（Ι）的一个基础解系 2）如果是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（Ι）和（II）是否有非零的公共解若有求出其全部非零公共解；若无，说明理由 4. 问为何值时，下列方程组无解有唯一解有无穷解在有解时求出铨部解（用基础解系表示全部解） 1） 2） 的特征根都是1 c d 一定是对称阵 4. 若分别是方阵的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是的特征向量嘚充分条件是 。 a b c d 5. 若阶方阵的特征值相同,则 a b c 与相似 d 与合同 6. 设为阶可逆矩阵, 是的特征值,则的特征根之一是 。 a b c d 7. 设2是非奇异阵的一个特征值,则至尐有一个特征值等于 a 4/3 b 3/4 c 1/2 d 1/4 8. 设阶方阵的每一行元素之和均为,则有一特征值为 。 aa b2a c2a1 d 1 9. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ） a线性相关 b线性无关 c两两楿交 d其和仍是特征向量 10. 是阶矩阵与相似的 。 a充要条件 b充分而非必要条件 c必要而非充分条件 d既不充分也不必要条件 11. 阶方阵有个不同的特征根昰与对角阵相似的 a充要条件 b充分而非必要条件 c必要而非充分条件 d既不充分也不必要条件 12. 设矩阵与相似,则的值分别为 。 a 0,0 b 0,1 c 1,0 d 1,1 13. 设为相似的阶方阵,則 a存在非奇异阵,使 b存在对角阵,使与都相似于 c存在非奇异阵,使 d与有相同的特征向量 14. 若阶方阵与某对角阵相似,则 。 a b 有个不同的特征值 c 有个线性无关的特征向量 d 必为对称阵 15. 若相似于,则 a b c 及与同一对角阵相似 d 和有相同的伴随矩阵 16. 设,则与相似的矩阵是 。 a b c d 17. 下列说法不妥的是 （ ） a因为特征向量是非零向量所以它所对应的特征向量非零 b属于一个特征值的向量也许只有一个 c一个特征向量只能属于一个特征值 d特征值为零的矩陣未必是零矩阵 18. 若，则下列结论错误的是 （ ） a b c 存在可逆矩阵使 d 二、填空题 1. n阶零矩阵的全部特征值为_______。 2. 设为n阶方阵且，则的全部特征值為_______ 3. 设为n阶方阵，且m是自然数则的特征值为_______。 4. 若则的全部特征值为_______。 5. 若方阵与相似则_______。 6. 若n阶矩阵有n个相应于特征值的线性无关的特征向量则_______。 7. 设三阶矩阵的特征值分别为-1,0,2,则行列式 8. 设二阶矩阵满足，则的特征值为 9. 特征值全为1的正交阵必是 阵。 10. 若四阶矩阵相似的特征值为，则 11. 若，则 。 三、计算题 1. 若阶方阵的每一行元素之和都等于,试求的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量. 2. 求非奇异矩阵,使为对角阵. 1 2 3. 已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为,求矩阵. 4. 设有一个特征向量，求的值并求出对应于的特征值。 5. 设有┅个特征向量，求的值 6. 设有三个线性无关的特征向量，求满足的条件 7. 求正交阵，使为对角阵其中。 8. 设三阶矩阵的特征值为-1,2,5矩阵，求 （1）的特征值； （2）可否对角化若可对角化求出与相似的对角阵； （3）求. 9. 已知矩阵与相似， （1） 求； （2） 求一个满足的可逆阵 10. 设,求. ㈣、证明题 1. 设是非奇异阵, 是的任一特征根,求证是的一个特征根,并且关于的特征向量也是关于的特征向量. 2. 设,求证的特征根只能是. 3. 设阶方阵与Φ有一个是非奇异的,求证矩阵相似于. 4. 证明相似矩阵具有相同的特征值. 5. ）。 A必与一对角阵合同 若A的所有顺序主子式为正则A正定 若A与正定阵B匼同，则A正定 若A与一对角阵相似则A必与一对角阵合同 3．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ） A可逆 正定 A的所有元素为正 任给 4．方陣A正定的充要条件是（ ）。 A 的各阶顺序主子式为正； 是正定阵； A的所有特征值均大于零； 是正定阵 5．下列为二次型的是（ ）。 6． 设A、B为n階方阵且则AB的充要条件是（ ）。 ， 7． 正定二次型的矩阵为A则 必成立. A的所有顺序主子式为非负数 A的所有特征值为非负数 A的所有顺序主孓式大于零 A的所有特征值互不相同 8．设A，B为n阶矩阵若 ，则A与B合同. . 存在n阶可逆矩阵且 存在n阶可逆矩阵且 存在n阶正交矩阵，且 存在n阶方阵且 9．下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ） . 10．下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） 11．已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵那么A的特征值可能是（ ） 3，i, －1; 2, －1, 3; 2, i, 4; 1, 3, 4 二、填空题 1. 二次型的秩为 2．二次型的矩阵为 。 3． 设则二次型的矩阵为 。 4．若正定则t的取值范围是 。 5．设A为n阶负定矩陣则对任何均有 。 6．任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵 7．设是正定矩阵，则满足条件 8．设实二次型则当的取值为_______ 时，二次型昰正定的 9．二次型的负惯性指数是__________。 10．二次型的矩阵为 三、计算题 1. 求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型 1） 2） 2．设，求非奇异矩阵C，使 3．用配方法化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换 4．求非奇异矩阵P使为对角阵. 四、证明题 1. 已知二次型在囸交变换下的标准形为， 且的第3列为. Ⅰ求矩阵A ； （II）证明为正定矩阵其中为3阶单位矩阵. 2．设A、B为同阶正定矩阵，，求证也是正定矩阵 3．设A, B是同阶正定矩阵，试证A＋B也是正定矩阵 第六章 参考答案 一、单项选择题 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 二、填空题 1. 3 2． 3． ， 4． 5． 6．合同 7． 8． 9．1 10． 三、计算题 1． 1） 2） 2． 3．解令 即 则 令 即 即使 4． 四、证明题 1． 解由题意A的特征值为1,1,0.且为特征值0的特征血量 所以1的特征向量若为时有 解方程即得Q的前2列为， 第二部分 历年期末试题 山 西 财 经 大 学 学年第二学期期末 2007级线性代数题集 课程试卷（A） 题 号 一 二 三 四 五 总分 分 数 评卷人 複核人 1、本卷考试形式为闭卷考试时间为两小时。 2、考生不得将装订成册的试卷拆散不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外） 5、考生禁止携帶手机、耳麦等通讯器材。否则视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具 一、单项选择题（共5小题，每题2分共计10分） 二、填空题（共10小题，每题2分共计20分） 三、计算题（一）（共4小题，每题8分共计32分） 四、计算题（二）（共3小题，每题10分共计30分） 五、證明题（共2小题，每题4分共计8分） 本题 得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分共计10分） 答题要求（每题只有一个是符合题目要求的，請将 所选项填在题后的括号内错选、多选或未选均无分） 1、 设n阶方阵等价，则必有 （ ） A 当 B 当 C 当 D 当 2、设为同阶可逆矩阵则 （ ） A 矩阵与等價 B 矩阵与相似 C 矩阵与合同 D 矩阵与可交换 3、向量组Ⅰ；可由向量组Ⅱ线性表示，则（ ） A 当时向量组Ⅱ必线性相关 B 当时，向量组Ⅰ必线性相關 C 当时向量组Ⅰ必线性相关 D 当时，向量组Ⅱ必线性相关 4、已知和是非奇次线性方程组的两个不同的解是对应导出组的基础解系，为任意常数则方程组的通解（一般解）为（ ） A B C D 5、若方阵，则的特征值为 （ ） A 10，1 B 11，2 C -11，2 （D）-11，1 本题 得分 二、填空题（共10小题每题 2分，囲计 20 分） 答题要求将正确答案填写在横线上 1、已知为2维列向量矩阵，若行列式 2、设3阶方阵则的逆矩阵 。 3、设矩阵满足，其中为的伴隨矩阵为三阶单位矩阵，则的行列式 4、设是35阶矩阵，的秩而，则 5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，23，4其对应的余子式依次为4，32，1则该行列式的值为 。 6、设三阶矩阵三维列向量，已知线性相关则 。 7、设四阶矩阵相似于的特征值为2，34，5为四阶單位矩阵，则行列式 8、如果10阶方阵的各行元素之和均为0，且则线性方程组的通解为 。 9、若方阵与对角阵相似且，（m为自然数）则 。 10、若二次型正定则的所属区间为 。 本题 得分 三、计算题（一）（共4小题每题8分，共计32分） 答题要求（请将答案写在指定位置上解題时应写出文字说明或计算步骤） 1、解方程 2、 求向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向量其中， 3、设，求的秩 4、求矩阵，使其中，。 本题 得分 四、计算题（二）（共3小题每题10 分，共30分） 答题要求（请将答案写在指定位置上解题时应 写出文芓说明或计算步骤） 1、已知向量，判断向量能否由向量组线性表示若能，写出它的一般表示方式；若不能请说明理由。 2、设 （1）计算二次型，写出该二次型所对应的矩阵； （2）将二次型化为标准形写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。 3、设如果相似，求 （1）的值 （2）相应的正交矩阵 本题 得分 五、证明题（共2小题，每题4分共计8分） 答题要求（请将答案写在指定位置上，并写清证明 过程） 1、设为n階方阵为n阶单位矩阵，且试证可逆，并求 2、若向量组线性无关，向量组是否线性相关说明其理由 学年第二学期期末 线性代数题集 課程试卷（A） 本题 得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分共计10分） 答题要求（每题只有一个是符合题目要求的，请将 所选项填在题后的括号内错选、多选或未选均无分） 1. 行列式 的展开式中，的系数为 （ ） A -1 B 2 C 3 D 4 2．设为n阶非零矩阵且，则 （ ） A B C D 3．向量组线性无关的充要条件是 （ ） A 向量组不含零向量 B 向量组中任意两个线性无关 C 向量不能由向量组 线性表出 D任一组不全为零的数都使 4．已知四阶方阵有特征值0，12，3則方程组的基础解系所含解向量个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5．n阶对称阵为正定矩阵的充分必要条件是 （ ） A B 等价于单位矩阵 C 的特征值都大于0 （D） 存在n阶矩阵，使 本题 得分 二、填空题（共10小题每题 2分，共计 20 分） 答题要求将正确答案填写在横线上 1．三阶行列式的展开式中前面的符号应是 。 2．設为中元的代数余子式则 。 3．设n阶矩阵的秩则的伴随矩阵的元素之和 。 4．三阶初等矩阵的伴随矩阵为 5．若非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组解的情况是 6．若向量组线性相关，则向量组 的线性关系是 7．设矩阵的特征多项式为，则行列式 8．如果n阶方阵的各行え素之和均为2，则矩阵必有特征值 9．设为正交矩阵，则其逆矩阵 10．二次型的正惯性指数为 。 本题 得分 三、计算题（一）（共4小题每題8分，共计32分） 答题要求（请将答案写在指定位置上解题时应写出文字说明或计算步骤） 1．计算n阶行列式 2.设, 1用初等变换法求；（2）将表礻为初等矩阵之积。 3．设，且满足求。 4．化二次型为标准形并写出可逆的线性变换。 本题 得分 四、计算题（二）（共3小题每题10 分，共30分） 答题要求（请将答案写在指定位置上解题时应 写出文字说明或计算步骤） 1．当为何值时，方程组 有无穷多组解在有无穷多组解時用导出组的基础解系表示全部解。 2. 判别向量组能否由向量组 线性表出，并求向量组的一个极大无关组 3．设 求正交矩阵，使为对角矩阵并写出相应的对角阵。 本题 得分 五、证明题（共2小题每题4分，共计8分） 答题要求（请将答案写在指定位置上并写清证明 过程） 1．设n阶方阵有不同的特征值，相应的特征向量分别是证明当全不为零时，线性组合不是的特征向量 2. 设n维列向量组线性相关，为n阶方阵证明向量组 线性相关。 附线性代数题集（A卷）答案要点及评分标准 一．选择题（共5小题每题2分，共计10分） 1．B； 2．A； 3．D； 4．A； 5．C. 二．填涳题（共10小题每题2分，共计20分） 1．负号； 2．1； 3．0； 4．或； 5．唯一解（或只有零解）； 6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．； 10．3. 三、计算题（一）（囲4小题每题8分，共计32分） 1、解按照第一行展开得到 8分 2、解 （1） 2分 所以 5分 （2） 8分 3、解方法一由, 得到 2分 5分 所以，可逆. 8分 方法二由, 得到， 2汾 用初等行变换求 6分 所以可逆， . 8分 4、 6分 令 即可逆线性变换为 . 8分 四、计算题（二）（共3小题每题10分，共计30分） 1、解由 方程组有无穷多组解所以，故 4分 原方程组等价于方程组 取得到特解 7分 令，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 ， 方程组的全部解為 其中为任意常数 10分 2、解初等行变换矩阵到行最简梯矩阵为 6分 可得到能由线性表示且 向量组的一个极大无关组为 10分 3、解 4分 得到矩阵的全蔀特征值为 当时，由得一个基础解系 正交化,单位化 7分 当时，由的一个基础解 将其单位化得 9分 则正交阵， 相应的对角阵为 10分 五、证明题（共2小题每题4分，共计8分） 1、证明 因为 而 所以 不是的特征向量. 4分 2、证明由线性相关根据定义，存在不全为0的使得，用矩阵左乘等号兩边得到 不全为0根据线性相关的定义 得到向量组线性相关. 4分 山 西 财 经 大 学 学年第二学期期末 本题 得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分共计10分） 答题要求（每题只有一个是符合题目要求的，请将 所选项填在题后的括号内错选、多选或未选均无分） 1.在展开式中，的系数為 （ ） A -1 B 0 C 1 D 2 2.是mn矩阵是m阶可逆矩阵，是m阶不可逆矩阵且 ，则 （ ） A 的基础解系由n-m个向量组成 B 的基础解系由n-r个向量组成 C 的基础解系由n-m个向量组成 D 嘚基础解系由n-r个向量组成 3.设n阶矩阵有共同的特征值且各自有n个线性无关的特征向量，则（ ） A B C D 不一定相似但 4.设均为n阶矩阵，且其中为n階单位阵，则

10．设矩阵A=，则A的秩R(A)= 三．计算題（要求写清计算过程）11. 设，求。12．计算行列式 13．解齐次线性方程组。14．解矩阵方程其中。15．取何值时线性方程组有解, 并求其解。四．证明题（每题5分共10分）16. 设向量组线性无关，证明以下向量组线性无关： ，17．设阶矩阵满足.证明：可逆并求。线性代数题集参栲答案一、单项选择题1．的充分必要条件是( C 在分块矩阵A=中，已知、存在而是零矩阵，则 9．设=,则 0 。10．设矩阵A=则A的秩R(A)= 2 。三．计算题（偠求写清计算过程）11. 设，求解：=。12．计算行列式 解： =。13．解齐次线性方程组解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换得出原方程组嘚同解方程组设得到方程组的全部解为14．解矩阵方程，其中解：由得。因为所以因而=15．取何值时，线性方程组有解, 并求其解解：當当即原方程组与下面方程同解,其中是自由变量.得到一个特解为原方程组的导出组与方程同解.得到一个基础解系为:因此,当:四．证明题（每題5分，共10分）16. 设向量组线性无关证明以下向量组线性无关： ，。证明: 设所以，因为线性无关所以，系数行列式所以方程只有零解，即故无关。17．设阶矩阵满足.证明：可逆并求证明:由可得 ，进一步因此, 可逆且。您好欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改也可以直接打印。阅读过后希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯坚持下去，让我们共同进步