球面拟合算法 - 魅族内核团队
球面拟合算法 19 June 2016 引言在传感器数据融合以及工业测量中，常常需要对已知的数据或者是已知的结构的特征参数进行检测，来评估数据的信噪比或者结构的质量是否符合产品的需求。一般的，可以通过记录大量数据或者通过结构的离散点，来反解出它的特征参数。
以球面为例，这些特征参数可以是球的半径，或者是球心等。对于球体拟合算法，通常有代数拟合和几何拟合。在本例中，以一般的代数拟合方法为主进行介绍。原理分析以下图的数据为例，我们可以明显看出这些数据“可能”是一个球体，那么我们应该如何来得到这个球体的半径以及球心？从如此多的数据中很明显可以看到，最后的执行方程组肯定是超定方程组。正常来看，超定方程组是没有解的，但在数值计算领域我们可以以最优解的形式来获得我们想要的参数。正所谓，有总比没有好，迟到总比不到好，是吧。话不多说，原始数据经过剔除异常点以及滤波之后，我们假设这些离散点为Pi = (Xi,Yi,Zi), i = 1，2，…，n假如球的球心m为 (a,b,c)，球的半径为 r，则球的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2以 Di 表示离散点 Pi 到 m 的距离，即Di^2 = (Xi-a)^2 + (Yi-b)^2 + (Zi-c)^2, i = 1，2，…，n。令残差平方和 S =
其中 i = 1，2，…，n。为了选取最合适的让该等式”尽量成立”，只需要让 S 为最小值即可。也就是说，b` = argmin(S)。而且很明显，S 肯定存在大于或等于 0 的极小值。由逼近算法可以罗列出超定方程组，在这里，我们将球的标准方程展开然后代入 S 中，将 S 对其中的未知数求偏导，令偏导为 0，得到极值点，比较之后即可得到最小值。由于解方程是比较基础的内容，本例中就不罗列出来了。这个时候，就可以将 b` 中的数据直接代入球的标准方程，看看是否得到了我们想要的球面。一般的，可以直接得到比较好的球面了。误差分析这个时候还没有结束，我们还需要对我们所得到的球面进行评定，看看是否误差在允许的范围之内，这个范围取决于个人或者组织对产品的定义。我们可以将所得到的最优解 b` 以及离散点Pi的均方误差作为评定的参考，假如均方误差不在允许范围之内，可以再次进行剔除异常值还有滤波，一直迭代，直到数据满足要求。原理扩展从上述例子中，我们可以知道，该算法不仅可以从大量已知数据得出最优解，也可以从四个不共面的点来确定一球面，甚至可以通过结构的球冠来得到最匹配的球面。下图是经过剔除异常值并且滤波之后，由上述逼近算法拟合得到的最优解。结语这个案例还比较容易，因为仅有 4 个未知量，而且也不需要考虑三维空间旋转。如果大伙搞懂了这个，下次再来给大伙讲讲二次曲面/椭球拟合算法（结合三维空间旋转，大概 10 个未知数）或者扩展卡尔曼滤波结合四元数进行姿态解算。参考资料《概率论与数理统计》（第 4 版）盛骤 hujian251
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　 第 1期 冯炜等 :两种常用 GPS 星历拟合方法的精度分析
用任一组系数的结果 , 也可取两组系数计算的平均 值 。
切比雪夫多项式拟合和勒让德多项式拟合 , 是 星历标准化时较常用的两种算法 , 这两种方法的思 路相同 , 并且精度相当 。考虑到精密星历的精度为 5c m , 则对于 3小时的时段 , 可采用 10阶拟合 , 对于 4小时时段 , 可采用 11阶拟合 , 阶数过低 , 则会损失 精度 , 阶数过高 , 不仅占用更多的计算时间 , 而且精 度还有所下降 。目前 , 广播星历的精度一般为 5~ 10m , 对于 3小时的时段采用 8阶拟合 , 4小时的时 段采用 9阶拟合就可以满足需要 。
参 考 文 献
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寻找更多 ""ZY-3卫星轨道拟合与预报精度分析--《测绘通报》2015年01期
ZY-3卫星轨道拟合与预报精度分析
【摘要】：卫星轨道作为构建高分辨率遥感影像严密几何成像模型的必要参数,其精度对卫星影像几何定位精度有直接影响,故研究如何获取卫星成像时刻的精确位置具有重要意义。本文分别基于最佳平方逼近多项式和最佳一致逼近多项式对ZY-3卫星实时轨道与事后精密轨道进行了拟合与平滑,进一步探讨了实时轨道预报的可行性。研究结果表明,最佳平方逼近多项式拟合结果明显优于最佳一致逼近多项式拟合结果,且事后精密轨道拟合精度为厘米级,可以改善并提高实时轨道精度及进行轨道短期预报,为遥感影像高精度几何处理提供精确可靠的外方位线元素。
【作者单位】：
【基金】：
【分类号】：P228
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做时间序列预测时，拟合精度和预测精度各代表什么意思
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拟合结果好，是因为有实际的数据在不断修正这些方法的偏差。而预测的时候就会有问题，就像你说的，后50个数据预测的会不准。你们导师的意思是对的，我们总感觉样本数据越多，预测结果越准，其实这是不对的。预测和数据多少无关
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