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算法导论---------动态规划之钢条切割
动态规划方法通常用来求解最优化问题。动态规划算法设计步骤：
1.刻画一个最优解的结构特征。
2.递归定义最优解的值。
3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4.利用计算出的信息构造一个最优解。
动态规划的实现方法：
带备忘的自顶向下法：此方法仍按自然的递归形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或散列表中）。当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间；否则，按通常方式计算这个子问题。
自底向上法：这种方法一般需要恰当定义子问题“规模”的概念，使得任何子问题的求解都依赖于“更小的”子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小至大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需要求解一次，当我们求解它（也是第一次遇到它）时，它的所有前提子问题都已求解完成。
问题：公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。
假定我们知道公司出售一段长度i英寸的钢条的价格为pi（i=1，2，...，单位为美元）。钢条的长度均为整英寸。图给出了一个价格表的样例。
价格 Pi
切割钢条的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表Pi，求切割方案，使得销售收益Rn最大。
当然，如果长度为n英寸的钢条价格Pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。
对于上述价格表样例，我们可以观察所有最优收益值Ri及对应的最优解方案：
R1 = 1，切割方案1 = 1（无切割）
R2 = 5，切割方案2 = 2（无切割）
R3 = 8， 切割方案3 = 3（无切割）
R4 = 10， 切割方案4 = 2 + 2
R5 = 13， 切割方案5 = 2 + 3
R6 = 17， 切割方案6 = 6（无切割）
R7 = 18， 切割方案7 = 1 + 6或7 = 2 + 2 + 3
R8 = 22， 切割方案8 = 2 + 6
R9 = 25， 切割方案9 = 3 + 6
R10 = 30，切割方案10 = 10（无切割）
更一般地，对于Rn（n >= 1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：
Rn = max(Pn, R1 + Rn-1, R2 + Rn-2,...,Rn-1 + R1)
首先将钢条切割为长度为i和n - i两段，接着求解这两段的最优切割收益Ri和Rn - i（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和），由于无法预知哪种方案会获得最优收益，我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。如果直接出售原钢条会获得最大收益，我们当然可以选择不做任何切割。
/*------------------------------------------------------------------------------------------
用朴素的递归的方法的求解:递归的求解每一个子问题，当碰到相同的子问题重新求解，重点理解递归的过程
此方法最大的缺点是：每当n增加1的时候，程序运行时间差不多就会增加一倍，
其工作量会爆炸性的增长。
/*-------------------------------------------------------------------------------------------*/
int cut_rod(int *p,const int &n)
if (n == 0)
int q = -1;
for (int i = 1; i = 0)
return r[n];
int q = -1;
if (n == 0)
for (int i = 1; i <= ++i)
q = max(q, p[i] + memoized_cut_rod_aux(p, n - i, r));
r[n] =//保存子问题的一个最优解
int memoized_cut_rod(int *p, const int n)
int r[11] = {0};
for (int i = 1; i <= i++)
r[i] = -1;
int q = memoized_cut_rod_aux(p, n, r);
//第三种方法：自底向上的方法
int bottom_up_ut_rod(int *p, int n)
int r[11] = { 0 };
int q = 0;
for (int j = 1; j <= ++j)
for (int i = 1; i <= ++i)
q = max(q, p[i] + r[j - i]);
return r[n];
//重构：不仅输出长度为n的时候最大收益还输出一个最优切割方案
pair<vector, vector> extended_bottom_up_cut_rod(int *p, int n)
int r[11] = { 0 };
int s[11] = { 0 };
pair< vector, vector >
result.first.push_back(0);
result.second.push_back(0);
for (int j = 1; j <= ++j)
int q = -1;
for (int i = 1; i <= ++i)
if (q < p[i] + r[j - i])
q = p[i] + r[j - i];
result.first.push_back(r[j]);
result.second.push_back(s[j]);
//输出收益和方案
void print_cut_rod_solution(int *p,int n)
pair< vector, vector >
result = extended_bottom_up_cut_rod(p, n);
vector r = result.
vector s = result.
cout << "钢条切割最大收益为: ";
cout << r[n] <<
cout << "最佳切割方式： " < 0)
cout << s[n];
n = n - s[n];
cout <> n)
cout << "普通递归方法： " << cut_rod(p, n) <<
cout << "带备忘录的自顶向下法： " << memoized_cut_rod(p, n) <<
cout << "自底向下法： " << bottom_up_ut_rod(p, n) <<
print_cut_rod_solution(p, n);
if (ch == &#39;n&#39;)
cout << "请输入继续输入适当的数n：";
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